Фильм «Математик и чёрт» СССР, 1972

Великая теорема Ферма: подробное объяснение и ключевые идеи доказательства

---

Формулировка теоремы

Великая теорема Ферма утверждает, что для любого натурального числа $n>2$ уравнение:

an+bn=cnan+bn=cnне имеет решений в целых положительных числах $a,b,c$.

---

Исторический контекст

• 1637 год: Пьер де Ферма сформулировал теорему на полях книги Диофанта, написав, что обнаружил «поистине удивительное доказательство», но не привёл его.
• Случай $n=2$: Это уравнение Пифагора, имеющее бесконечно много решений (пифагоровы тройки).
• Частные случаи: Для $n=3,4,5$ доказательства были найдены Эйлером, Ферма, Лежандром и другими, но общий случай оставался открытым более 350 лет.

---

Доказательство Эндрю Уайлса (1994)

Доказательство основано на глубокой связи между эллиптическими кривыми, модулярными формами и гипотезой Таниямы-Шимуры. Вот ключевые этапы:

---

1. Гипотеза Таниямы-Шимуры

• Формулировка: Каждая эллиптическая кривая над полем рациональных чисел является модулярной, то есть связана с модулярной формой.
• Эллиптические кривые: Уравнения вида y2=x3+ax+by2=x3+ax+b, где $a,b$ — рациональные числа.
• Модулярные формы: Функции, обладающие высокой степенью симметрии и определённые на верхней комплексной полуплоскости.

---

2. Связь с теоремой Ферма

• Гипотеза Фрея (1984): Если бы существовало решение уравнения Ферма an+bn=cnan+bn=cn, то эллиптическая кривая y2=x(x−an)(x+bn)y2=x(x−an)(x+bn) (кривая Фрея) была бы немодулярной.
• Теорема Рибета (1986): Кеннет Рибет доказал, что кривая Фрея нарушает гипотезу Таниямы-Шимуры, если решение уравнения Ферма существует.

Таким образом, доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры автоматически влекло бы доказательство теоремы Ферма.

---

3. Работа Уайлса

• Цель: Доказать гипотезу Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых (включая кривую Фрея).
• Метод: Использование теории деформаций галуавых представлений, L-функций и свойств модулярных форм.
• Прорыв: Уайлс и его ученик Ричард Тейлор преодолели пробел в доказательстве, связанный с системами Эйлера (1995).

---

4. Итог

Если бы уравнение Ферма имело решение, то кривая Фрея существовала бы, но она не могла бы быть модулярной. Однако гипотеза Таниямы-Шимуры, доказанная Уайлсом для полустабильных кривых, утверждает обратное. Это противоречие доказывает, что решений у уравнения Ферма при $n>2$ нет.

---

Проверка доказательства

• 1993–1995: После первого объявления в 1993 году в доказательстве обнаружили пробелы. Уайлс и Тейлор исправили их к 1995 году.
• Публикация: Работа опубликована в журнале Annals of Mathematics (1995) и прошла строгую проверку математическим сообществом.

---

Значение

• Объединение областей: Доказательство задействовало алгебраическую геометрию, теорию чисел, анализ и топологию.
• Развитие математики: Методы Уайлса легли в основу программ Ленглендса, изучающих связи между автоморфными формами и представлениями галуа групп.

---

Малая теорема Ферма

Не стоит путать с Великой теоремой. Она утверждает, что для простого $p$ и целого $a$, не кратного $p$, выполняется:

ap−1≡1mod  p.ap−1≡1modp.Доказательство: Используется теория групп (мультипликативная группа поля вычетов).

---

Заключение

Великая теорема Ферма верна. Её доказательство — триумф современной математики, объединивший идеи из разных дисциплин. Хотя сам Ферма, вероятно, ошибался, утверждая, что обладает «удивительным доказательством», работа Уайлса закрыла одну из самых знаменитых проблем в истории науки.